三角形的周长(三角形的周长口诀)

三角形的周长(三角形的周长口诀)

“问题是数学的心脏”,是思维的起点,是学生主动探索的动力。学生在数学问题解决的过程中学习数学,提升思维。本文意在由一组三角形周长最值问题谈在数学问题解决的过程中一些常用的解题策略。

问题1

点A是∠O内一点,试在∠O的两边上分别确定点B、点C,使得△ABC周长最小

三角形的周长(三角形的周长口诀)

分析

在∠O的两边取B、C两点,构成△ABC,△ABC周长最小即AB+AC+BC最小。

三角形的周长(三角形的周长口诀)

由于这个问题不含任何数据,从代数角度,用参数表示出△ABC的周长几无可能,而从几何角度处理线段(和)最值问题主要有两条重要依据:① 两点之间线段距离最短;② 直线外一点到直线垂线段最短。

三角形的周长(三角形的周长口诀)

所以,考虑转化线段AB、AC,采用的方法是“翻折”,即做点A关于∠O两边的对称点A1、A2,联结A1C、A2B。

三角形的周长(三角形的周长口诀)

根据中垂线的性质,AB=A2B,AC=A1C,将△ABC的三边转化为收尾相接的三条折线段,显然A1A2≤A2B+BC+A1C,A1A2与∠O两边的交点即所求点,A1A2长即所求最短周长。

问题2

在锐角△ABC三边AB、AC、BC取点E、F、G,若△EFG周长最小,请确定点E、F、G的位置。

三角形的周长(三角形的周长口诀)

分析

现在点E、点F、点G的位置无一确定,怎样下手?以退为进!(可以先考虑问题的特殊情况,或先考虑问题的一部分,看清楚、想明白了再进。退是手段、进是目的,“难的不会想简单的”是个好主意。在具体实践中,常常是进退互化。——罗增儒教授)

假设在边BC上任取点G,在边AB、AC上确定点E、F,使得△EFG周长最短。

三角形的周长(三角形的周长口诀)

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是否感觉回归到了“问题1”

三角形的周长(三角形的周长口诀)

做点G关于AB、AC的对称点G1、G2,联结G1G2,交AB、AC于点E、F,则此时△GEF周长最小,其最小周长为G1G2的长度。

而接下去就要寻找G1G2的长度与点G位置之间的关系。

三角形的周长(三角形的周长口诀)

联结AG、因为AG1=AG=AG2,显然对于△AG1G2有以下特征:① △AG1G2是等腰三角形;② △AG1G2顶角为△ABC的内角∠BAC的两倍,是定值(所有顶角相等的等腰三角形都相似),于是要使得等腰△AG1G2的底边G1G2最短,则其要AG要最短,AG表示的是点A到BC上点的距离,直线外一点到直线垂线段最短,所以AG要最短,则AG⊥BC!

三角形的周长(三角形的周长口诀)

此时可以证明CE⊥AB,BF⊥AC,其实E、F、G就是△ABC三边上高的垂足,人们把这样的三角形称之为垂足三角形,又称施瓦兹三角形。

数学史链接

施瓦兹三角形问题是关于三角形的极值问题,在锐角三角形的内接三角形中,以垂足三角形的周长为最短,此问题最早由法尼亚诺提出,他用微积分的方法给出了一个解答,因此,这个问题也称为法尼亚诺问题。施瓦兹在一篇论文中,利用垂足三角形的性质及反射原理巧妙地证明了这个问题,施瓦兹三角形因此而得名,他的证明后来被莫利和莫莱推广到2n+1角形的情况。

拓展证明

在锐角△ABC中,AG⊥BC于点G,做点G关于AB、AC的对称点G1、G2,联结G1G2交AB于点E,求证:CE⊥AB

三角形的周长(三角形的周长口诀)

简证

因为AG1=AG2,又因为对称性

所以∠G1=∠AG2G1=∠AGE=∠AGF

∠AGC=∠AG2C=90°

所以∠AGC+∠AG2C=180°

所以∠EGC+∠EG2C=180°

所以点E、G、C、G2四点共圆

因为GC=G2C,所以∠GEC=∠G2EC

因为对称,∠G1EB=∠GEB=∠AEG2

所以∠BEC=∠AEC=90°即CE⊥AB。

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