什么是无理数(什么是实数)

什么是无理数(什么是实数)

在万有引力定律中,对于相隔一定距离的两个物体,它们之间的引力大小正比于它们质量的乘积,比例系数被称为万有引力常数(G)。根据目前最为精确的测量,万有引力常数为6.67408×10^-11 m^3/kg/s^2,相对标准不确定度为46 ppm(百万分之四十六)。鉴于万有引力常数是一个小数,那么,它究竟是有理数还是无理数呢?

事实上,万有引力常数并非真正意义上的常数,它可以是一个有理数,也可以是一个无理数。原因在于万有引力常数是有量纲的,它的大小会随着单位制的变化而改变,可以变成任意数值。

什么是无理数(什么是实数)

在国际单位制下,万有引力常数与米、千克和秒有关,而这些单位都是人为定义的。1米有多长与光速有关,而光速是物理学家根据此前的光速测量值而定义的。1千克有多重与普朗克常数有关,而普朗克常数也根据测量值被定义成一个确切数值。1秒的长度定义基于铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁时所辐射电磁波的周期。在这种情况下,无论如何测量万有引力常数,都无法知晓它究竟是有理数还是无理数。

另一方面,在普朗克单位制下,万有引力常数的量纲变为1。此时,万有引力常数是一个有理数。无量纲化的好处是让物理学公式变得简单,便于运算。

什么是无理数(什么是实数)

虽然我们一直把万有引力常数视作一个物理学常数,但有理论表明,万有引力常数会随着时间的推移而改变。根据狄拉克的大数假说,万有引力常数与宇宙的年龄成反比,这意味着随着宇宙的演化,万有引力常数会变得越来越小。不过,目前对遥远宇宙(也就是早期宇宙)的测量表明,万有引力常数似乎没有发生变化。

在物理学常数中,也只有无量纲的常数才是真正意义上的常数,谈论它们的有理性才是有意义的。例如,精细结构常数α:

什么是无理数(什么是实数)

通过日全食证实广义相对论的爱丁顿认为,精细结构常数是一个有理数,它等于137的倒数。但通过实验表明,精细结构常数等于比137大一点的数的倒数。

在数学中,数学家可以通过严格的逻辑来证明圆周率(π)、自然常数(e)都是无理数。但迄今为止,物理学家无法通过类似的方法来证明一个物理常数是不是无理数。物理学家知道它们数值的唯一方法是通过实验进行测量,而测量是有误差的。

总之,我们不知道万有引力常数以及其他物理常数到底是有理数还是无理数。任何具有非零误差边界的数都可以用有理数近似,而且我们可能永远无法从第一原理中推导出物理常数。

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